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    三角函数解题技巧和公式(已整理)

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    三角函数解题技巧和公式(已整理)

    数学 1 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下 一、关于 2s inc oss inc oss in  或与 的关系的推广应用 1 、由于  co ss i n21co ss i n2co ss i nco s s i n 222  故知道cossin  ,必可推出 2s inc oss in  或 ,例如 例 1 已知  33 co ss in,3 3co ss in  求。 分析由于 co sco ss i n s i nco s s i nco ss i n 2233   ]co ss i n3co s [ s i nco s s i n 2   其中,  cossin  已知,只要求出  cossin 即可,此题是典型的知 sin -cos ,求sin cos 的题型。 解∵  co ss in21co s s in 2  故31co ss i n313 3co ss i n21 2  ]co ss i n3co s [ s i nco s s i nco ss i n 233   394313 3]3133 3[3 3 2 2、关于 tg ctg 与 sin cos , sin cos 的关系应用 由于 tg ctg   co ss in 1co ss in co ss ins inco sco ss in22  故 tg ctg ,  cossin  , sin cos 三者中知其一可推出其余式子的值。 例 2 若 sin cos m2,且 tg ctg n,则 m2 n的关系为( )。 A. m2n B. m2 12nC.nm 22 D.22mn 分析观察 sin cos 与 sin cos 的关系 sin cos 2 12 1co ss in22  m 数学 2 而 nctgtg  c o ss in 1故 1212 1 22 nmnm,选 B。 例 3 已知 tg ctg 4,则 sin2 的值为( )。 A.21B.21C.41D.41分析 tg ctg 41c o ss in4c o ss in 1  故212s inc o ss in22s in  。 答案选 A。 例 4 已知 tg ctg 2,求  44 cossin  分析由上面例子已知,只要  44 cossin  能化出含 sin cos 或 sin cos 的式子,则即可根据已知 tg ctg 进行计算。由于 tg ctg  2c ossin 1 21cossin ,此题只要将  44 cossin  化成含 sin cos 的式子即可 解  44 cossin   44 cossin  2 sin2 cos2 -2 sin2 cos2 ( sin2 cos2 ) - 2 sin2 cos2 1-2 sin cos 2 1- 221221121通过以上例子,可以得出以下结论由于  cossin  , sin cos 及 tg ctg 三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适 合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知 sin cos ,求含  cossin  的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于(  cossin  ) 21 2sin cos ,要进行开方运算才能求出  cossin  二、关于“托底”方法的应用 在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含 tg (或ctg )与含 sin (或 cos )的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下 例 5 已知 tg 3,求  cossin2 cos3sin 的 值。 分析由于 cossintg,带有分母 cos ,因此,可把原式分子、分母各项除以 cos ,“造出” tg ,即托出底 cos ; 数学 3 解由于 tg 3 0c o s2   k故,原式 013233123c o sc o sc o ss in2c o sc o s3c o ss intgtg 例 6 已知 ctg -3,求 sin cos -cos2 分析由于 sincosctg,故必将式子化成含有sincos的形式,而此题与例 4 有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式 1coss in 22   及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以 sin ,造出 ctg 解222222co ss i nco sco ss i nco sco ss i n1co ss i n 2s in, 分母同除以分子 22221s inc o s1s inc o ss inc o sc tgc tgc tg 56313322  例 7 ( 95 年全国成人高考理、工科数学试卷) 设20,20   yx, 6s in 3s in s ins in yxyx  且求 333  ct gyct gx的值 分析此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于20,20   yx, 故 0sin,0sin  yx ,在等式两边同除以 yxsinsin ,托出分母 yxsinsin为底,得 解由已知等式两边同除以 yxsinsin 得 1s i ns i n6c o sc o s6s i ns i ns i n3c o sc o s3s i n1s i ns i n6s i n 3s i n yyyxxyxyx  数学 4 3343331333431313411s ins in3c o ss ins inc o s341ct g yct g xct g yct g xct g yct g xyyyxxx“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于 cossintg, sincosctg,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种一种利用 1coss in 22   ,把 22 cossin  作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。 三、关于形如 xbxa sincos  的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用 可以从公式 s in s inc o sc o ss in xAxAxA  中得到启示式子 xbxa sincos  与上述公式有点相似,如果把 a, b部分变成含 sinA, cosA 的式子,则形如 xbxa sincos  的式子都可以变成含 sin xA 的式子,由于 -1≤ sin xA ≤ 1, 所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点不能直接把 a 当成 sinA, b 当成cosA,如式子 xx sin4cos3  中,不能设 sinA3, cosA4,考虑 -1≤ sinA≤ 1, -1≤ cosA≤ 1,可以如下处理式子  xbabxbaabaxbxa s i nc o ss i nc o s222222 由于 1222222  babbaa 。 故可设22s in baaA,则 AA s in1co s  ,即22co s babA∴ s i n s i nc o sc o s s i ns i nc o s 2222 xAbaxAxAbaxbxa  无论 xA 取何值, -1≤ sinA x≤ 1, 22 ba  ≤ s in22 xAba  ≤ 22 ba  即 22 ba  ≤ xbxa sincos  ≤ 22 ba  下面观察此式在解决实际极

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