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    三角函数解题技巧和公式(已整理)

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    三角函数解题技巧和公式(已整理)

    数学1浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下一、关于2SINCOSSINCOSSIN或与的关系的推广应用1、由于COSSIN21COSSIN2COSSINCOSSIN222故知道COSSIN,必可推出2SINCOSSIN或,例如例1已知33COSSIN,33COSSIN求。分析由于COSCOSSINSINCOSSINCOSSIN2233COSSIN3COSSINCOSSIN2其中,COSSIN已知,只要求出COSSIN即可,此题是典型的知SINCOS,求SINCOS的题型。解∵COSSIN21COSSIN2故31COSSIN3133COSSIN212COSSIN3COSSINCOSSINCOSSIN2333943133313333322、关于TGCTG与SINCOS,SINCOS的关系应用由于TGCTGCOSSIN1COSSINCOSSINSINCOSCOSSIN22故TGCTG,COSSIN,SINCOS三者中知其一可推出其余式子的值。例2若SINCOSM2,且TGCTGN,则M2N的关系为()。A.M2NB.M212NC.NM22D.22MN分析观察SINCOS与SINCOS的关系SINCOS2121COSSIN22M数学2而NCTGTGCOSSIN1故1212122NMNM,选B。例3已知TGCTG4,则SIN2的值为()。A.21B.21C.41D.41分析TGCTG41COSSIN4COSSIN1故212SINCOSSIN22SIN。答案选A。例4已知TGCTG2,求44COSSIN分析由上面例子已知,只要44COSSIN能化出含SINCOS或SINCOS的式子,则即可根据已知TGCTG进行计算。由于TGCTG2COSSIN121COSSIN,此题只要将44COSSIN化成含SINCOS的式子即可解44COSSIN44COSSIN2SIN2COS22SIN2COS2(SIN2COS2)2SIN2COS212SINCOS21221221121通过以上例子,可以得出以下结论由于COSSIN,SINCOS及TGCTG三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知SINCOS,求含COSSIN的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于(COSSIN)212SINCOS,要进行开方运算才能求出COSSIN二、关于“托底”方法的应用在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含TG(或CTG)与含SIN(或COS)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下例5已知TG3,求COSSIN2COS3SIN的值。分析由于COSSINTG,带有分母COS,因此,可把原式分子、分母各项除以COS,“造出”TG,即托出底COS;数学3解由于TG30COS2K故,原式013233123COSCOSCOSSIN2COSCOS3COSSINTGTG例6已知CTG3,求SINCOSCOS2分析由于SINCOSCTG,故必将式子化成含有SINCOS的形式,而此题与例4有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式1COSSIN22及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以SIN,造出CTG解222222COSSINCOSCOSSINCOSCOSSIN1COSSIN2SIN,分母同除以分子22221SINCOS1SINCOSSINCOSCTGCTGCTG56313322例7(95年全国成人高考理、工科数学试卷)设20,20YX,6SIN3SINSINSINYXYX且求333CTGYCTGX的值分析此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于20,20YX,故0SIN,0SINYX,在等式两边同除以YXSINSIN,托出分母YXSINSIN为底,得解由已知等式两边同除以YXSINSIN得1SINSIN6COSCOS6SINSINSIN3COSCOS3SIN1SINSIN6SIN3SINYYYXXYXYX数学43343331333431313411SINSIN3COSSINSINCOS341CTGYCTGXCTGYCTGXCTGYCTGXYYYXXX“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于COSSINTG,SINCOSCTG,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种一种利用1COSSIN22,把22COSSIN作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。三、关于形如XBXASINCOS的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用可以从公式SINSINCOSCOSSINXAXAXA中得到启示式子XBXASINCOS与上述公式有点相似,如果把A,B部分变成含SINA,COSA的式子,则形如XBXASINCOS的式子都可以变成含SINXA的式子,由于1≤SINXA≤1,所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点不能直接把A当成SINA,B当成COSA,如式子XXSIN4COS3中,不能设SINA3,COSA4,考虑1≤SINA≤1,1≤COSA≤1,可以如下处理式子XBABXBAABAXBXASINCOSSINCOS222222由于1222222BABBAA。故可设22SINBAAA,则AASIN1COS,即22COSBABA∴SINSINCOSCOSSINSINCOS2222XABAXAXABAXBXA无论XA取何值,1≤SINAX≤1,22BA≤SIN22XABA≤22BA即22BA≤XBXASINCOS≤22BA下面观察此式在解决实际极

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