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    小学数学奥数方法讲义40讲(一)

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    小学数学奥数方法讲义40讲(一)

    第 一 讲 观察法 姚老师数学乐园 广安岳池 姚文国 在解答数学题时,第一步是观察。观察是基础,是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材,特别重视培养观察力,把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法,是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点,条件与结论之间的关系,题目的结构特点及图形的特征,从而发现题目中的数量关系,把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序,要看得仔细、看得真切,在观察中要动脑,要想出道理、找出规律。 *例 1(适于一年级程度)此题是 九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册,第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考,初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法,基于他们已有的知识,能够判断本题的意思是在右边大正方形内的小方格中填入数字后,使大正方形中的每一横行,每一竖列,以及两条对角线上三个数字的和,都等于左边小正方形中的数字 18。实质上,这是一种幻方,或者说是一种方阵。 解现在通过观察、思考,看小方格中应填入什么数字。从横中行 106□18会想到, 18-10-62,在横中行右面的小方格中应填入 2(图 1-2)。 从竖右列 72□18 (图 1-2)会想到, 18-7-29,在竖右列下面的小方格中应填入 9(图 1-3)。 从正方形对角线上的 96□18 (图 1-3)会想到, 18-9-63,在大正方形左上角的小方格中应填入 3(图 1-4)。 从正方形对角线上的 76□18 (图 1-3)会想到, 18-7-65,在大正方形左下角的小方格中应填入 5(图 1-4)。 从横上行 3□718 (图 1-4)会想到, 18-3-78,在横上行中间的小方格中应填入 8(图 1-5)。 又从横下行 5□918 (图 1-4)会想到, 18-5-94,在横下行中间的小方格中应填入 4(图 1-5)。 图 1-5 是填完数字后的幻方。 例 2 看每一行的前三个数,想一想接下去应该填什么数。(适于二年级程度) 6、 16、 26、 ____、 ____、 ____、 ____。 9、 18、 27、 ____、 ____、 ____、 ____。 80、 73、 66、 ____、 ____、 ____、 ____。 解观察 6、 16、 26 这三个数可发现, 6、 16、 26 的排列规律是 16 比 6大 10, 26比 16 大 10,即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。 观察 9、 18、 27 这三个数可发现, 9、 18、 27 的排列规律是 18 比 9大 9,27比 18 大 9,即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。 观察 80、 73、 66这三个数可发现, 80、 73、 66的排列规律是 73比 80 小7, 66 比 73 小 7,即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。 这样可得到本题的答案是 6、 16、 26、 36、 46、 56、 66。 9、 18、 27、 36、 45、 54、 63。 80、 73、 66、 59、 52、 45、 38。 例 3 将 1~ 9这九个数字填入图 1-6的方框中,使图中所有的不等号均成立。(适于三年级程度) 解仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数,看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的方框和不等号,只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数,其它方 框中的数都是一个比一个大,而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。 所以,在左下角的那个方框中应填 9,在它右邻的方框中应填 2,在 2右面的方框中填 3,在 3 上面的方框中填 4,以后依次填 5、 6、 7、 8。 图 1-7 是填完数字的图形。 例 4 从一个长方形上剪去一个角后,它还剩下几个角(适于三年级程度) 解此题不少学生不加思考就回答 “ 一个长方形有四个角,剪去一个角剩下三个角。 ” 我们认真观察一下,从一个长方形的纸上剪去一个角,都怎么剪都是什么情况 ( 1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角,剩下三个角(图 1-8)。 ( 2)从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角,剩下四个角(图 1-9)。 ( 3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角, 剩下五个角(图 1-10)。 例 5 甲、乙两个人面对面地坐着,两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每 个数字都相同,并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半,这个数是多少(适于三年级程度) 解首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的,不然就没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同,这就是说,这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中,只有 0、 1、 6、 8、 9 这五个数字正看、倒看都表示数。 这个三位数在正看、倒看时,表示的数值不同,显然这个三位数不能是 000,也不能是 111 和 888,只可能是 666 或 999。 如果这个数是 666,当其中一个人看到的是 666 时,另一个人看到的一定是999, 999-666333, 333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666,也可以是 999。 *例 6 1966、 1976、 1986、 1996、 2006 这五个数的总和是多少(适于三年级程度) 解这道题可以有多种解法,把五个数直接相加,虽然可以求出正确答案,但因数字大,计算起来容易出错。 如果仔细观察这五个数可发现,第一个数是 1966,第二个数比它大 10,第三个数比它大 20,第四个数比它大 30,第五个数比它大 40。因此,这道题可以用下面的方法计算 19661976198619962006 19665 10 ( 1234) 9830100 9930 这五个数还有另一个特点中间的数是 1986,第一个数 1966比中间的数 1986小 20,最后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20, 1966 和 2006 这两个数的平均数是 1986。 1976 和 1996 的平均数也是 1986。这样,中间的数 1986 是这五个数的平均数。所以,这道题还可以用下面的方法计算 19661976198619962006 19865 9930 例 7 你能从 40025 ( 4004 ) ( 254 ) 40041001 6中得到启发,很快算出( 1) 60025 ( 2) 90025 ( 3) 140025 ( 4) 180025 ( 5) 725025的得数吗(适于四年级程度) 解我们仔细观察一下算式 40025 ( 4004 ) ( 254 ) 400410016 不难看出,原来的被除数和除数都乘以 4,目的是将除数变成 1 后面带有 0的整百数。这样做的根据是 “ 被除数和除数都乘以一个相同的数(零除外),商不变 ” 。 进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后,就可以很快求出商。按照这个规律,可迅速算出下列除法的商。 ( 1) 60025 ( 2) 90025 ( 6004 ) ( 254 ) ( 9004 ) ( 254 ) 6004100 9004100 24 36 ( 3) 140025 ( 4) 180025 ( 14004 ) ( 254 ) ( 18004 ) ( 254 ) 14004100 18004100 56 72 ( 5) 725025 ( 72504 ) ( 254 ) 29000100 290 *例 8 把 1~ 1000 的数字如图 1-11 那样排列,再如图中那样用一个长方形框框出六个数,这六个数的和是 87。如果用同样的方法(横着三个数,竖着两个数)框出的六个数的和是 837,这六个数都是多少(适于五年级程度) 解( 1)观察框内的六个数可知第二个数比第一个数大 1,第三个数比第一个数大 2,第四个数比第一个数大 7,第五 个数比第一个数大 8,第六个数比第一个数大 9。 假定不知道这几个数,而知道上面观察的结果,以及框内六个数的和是 87,要求出这几个数,就要先求出六个数中的第一个数 ( 87-1-2-7-8-9) 6 = 606 10 求出第一个数是 10,往下的各数也就不难求了。 因为用同样的方法框出的六个数之和是 837,这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大 1、 2、 7、 8、 9,所以,这六个数中的第一个数是 ( 837-1-2-7-8-9) 6 = 8106 135 第二个数是 135

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