10.刘家骅《浅谈随机化在信息学竞赛中的应用》

浅谈随机化在信息学竞赛中的应用——广东省韶关市第一中学 刘家骅【摘要】如今信息学竞赛题目日新月异，各种新型算法层出不穷，而作为一种新兴的算法，随机化算法在信息学竞赛这个舞台上也发挥着独特而重要的作用。本文通过几个典型例题简单介绍随机化算法在信息学竞赛中的应用。【关键字】信息学竞赛 随机化【引言】伴随着信息学竞赛的发展， “随机化” 一词在参加信息学竞赛的同学心中经历了一个由陌生到熟悉的过程。随机化算法以其特有的灵活多变，逐渐在越来越多不同类型的竞赛题目中得到巧妙运用，在越来越多样化的信息学竞赛中拥有独有的优势。掌握了随机化算法，无疑手上又多了一把解决问题的利刃。简单题目的另类算法例题：一个多边形A 1N ，在每条边A 上向多边形外做一个等腰三角形A 使得角A =αi。由α 出N，所有 i，写一个程序，输出多边行的顶点的坐标。分析：这道题目用简单的解方程就能够解决。让我们从另外一个角度思考问题，从题目的条件易知，只要确定了一个顶点的坐标，多边形的其他顶点的坐标就能够通过简单计算得到，那么问题就转化为确定多边形的一个顶点的坐标。如何确定一个顶点的坐标呢，枚举和二分等常用算法都无法为我们解决问题，于是，我们想到了随机化。我们开始时将第一个点放在原点，通过计算能够得出第N+1个顶点的坐标，如果第N+1个顶点和第1 个顶点重合，这个多边形就是所求，但是显然这样的可能性非常渺茫，于是我们需要调整第一点的位置。显然，第一个点距离第N+1个点的距离越小，其位置越接近其实际位置。我们每次可以在暂时确定第一个点的位置附近随机一个点，判断第一个点放在这里这个位置时与原来相比第一个点与第N+1个点的距离是否比原来更小，如果是，则将第一个点的位置暂时定在这个位置，然后继续上述操作，直至第一个点与第N+1个点重合，我们就确定了多边形的顶点的坐标了。事实证明，这种方法能够通过这道题目。虽然这样的方法显然在任何方面都要比前面提到的普通做法要复杂，对于解决这道题目没有太大的意义，但是，它提供给我们一种崭新的思路——随机化。随机化算法对于这样的题目没有优势，但是，它在很多问题上都能得到运用，下面，我们一起来进一步领略随机化算法的魅力吧。小试牛刀例题：山顶到山脚的路上有在政府决定砍掉它们，为了不浪费木材，每一棵树都会被转运到锯木场。树只能往一个方向运输，向下。在路的尽头有一个锯木场。两个额外的锯木场可以在路上的任意一棵老树的位置上，你必须选择在哪里建造，使得运输的费用达到最少。运输费用是一分每米每千克木材。分析：这道题目的标准算法将数据转化为图象，用栈进行处理求出两个矩形的最大覆盖面积，时间复杂度为O(N) 。但是，这种算法对能力要求不小，不太容易想到。我们看下随机化算法在这题上的表现。首先最容易想到的随机化当然就是直接随机寻找两个点，计算出以这两个点为锯木场时的总运费，多次随机后将总费用最小的输出。我们可以进行预处理，将计算的时间复杂度降为O(1)，那么在时限内我们可以随机几百万次甚至几千万次，但是相对于总状态的四亿来说，寻找到最优解的几率不是很大。有没有更好的方法呢？我们刚才是用随机化算法直接出解，准确性不太好，为了增加准确性，那么我们尝试一下用随机化来缩小区域范围。我们建立一个矩阵P，P[X,Y] 表示第一个锯木场建立在X，第二个锯木场建立在开始时，矩阵的边长为N。我们随机寻找一定数量的点(如下左图所示，取点数量应该充分利用时限并且注意效率，由于矩阵的大小一直在变化，推荐使用矩阵大小的定比确定取点数量) ，计算出它们的值，取其最小点，以这个点为新矩阵的中心，以现在矩阵的边长的3/4的长度为新矩形的边长（如下右图所示） ，从原来的矩阵中取出一块作为新矩阵的范围( 若新矩阵的范围出了原矩阵的边界就将其向里移动到原矩阵内)，然后继续在新矩阵中重复这样的操作，直至新矩阵足够小时，我们即可枚举新矩阵上的每一个点，取其中最小值作为答案。我们惊喜地发现，这种随机化算法对于测试数据能够全部通过！通过这道题目可以看出，随机化算法的灵活多变使得它的具有更为广阔的运用范围，在许多看似难以入手的地方通过巧妙地运用发光发热。而这样的多变性也使得我们需要灵活恰当地运用随机化算法才能发挥出它的优势。随机化算法并不只是简单地随便乱来，使用随机化算法的时候与其他算法一样值得细细斟酌，需要匠心独运。 下面，让我们来看看随机化算法在实际比赛中的运用解析。实战解析例题：小了中学以后，他更是迷上了计算机编程。经过多年的不懈努力，小要去他日思夜想的河南郑州参加第22届全国信息学奥林匹克竞赛（。 小了这个消息，都由衷的为他感到高兴。他们准备举办一个请小 小H 庆祝一下。 经好几天的调查，小 所有好友的名单，上面一共有N 个人（方